Vejo o período da seguinte forma: composto por duas orações:
- "O empresário opera sob firma constituída por seu nome, completo ou abreviado."
Nesta frase o verbo 'operar' está com sentido de 'modo como se trabalha', então entendo como verbo de estado. Assim sendo seu complemento é adverbial.
- (o empresário adita designação mais precisa à firma, se quiser. ..blah blah..)
Verbo 'aditar no sentido próprio, pedindo dois complementos (direto e indireto), então VTDI (transitivo direto e indireto); pede objeto direto: (designação mais precisa ou ...) e objeto indireto: (firma) preposição (a)
Na primeira oração, o complemento do verbo operar constitui um adjunto adverbial, isto é, uma expressão que indica o modo da ação verbal (uma modalização).